Matematika Ekonomi Ukuran Penyebaran Data

UKURAN PENYEBARAN DATA

Ukuran pemusatan belum memberikan deskripsi yang mencukupi bagi data. Perlu diketahui seberapa jauh pengamatan-pengamatan tersebut menyebar dari rata-ratanya. Sangat memungkinkan dimiliki dua pengumpulan data pengamatan yang memiliki rata-rata atau median sama namun memiliki ukuran penyebaran yang berbeda. Contoh :

Sangat tampak bahwa data pada gugus A lebih beragam daripada data pada gugus B. Macam-macam ukuran penyebaran data adalah :

1. Range

Range dari sekumpulan data adalah selisih (beda) antara pengamatan yang terbesar dengan pengamatan yang paling kecil dalam kumpulan data tersebut. Contoh gugus A dan B memiliki range = 15 – 3 = 12.

Range bukanlah merupakan ukuran keragaman yang baik, terutama apabila ukuran sampel atau populasinya besar. Range hanya memperhatikan kedua nilai ekstrem (yang terbesar dan terkecil) dan tidak menjelaskan apa-apa mengenai sebaran bilangan yang berada diantara kedua nilai ekstrem tersebut.

2. Variansi (Ragam)

Untuk mengatasi kekurangan yang dimiliki oleh range, maka digunakan variansi. Variansi memperhatikan posisi relatif setiap pengamatan terhadap rata-rata pada gugus data tersebut. Variansi untuk populasi terhinggga x1,x2,....,xn dirumuskan sebagai berikut

Apabila gugus A dan B dianggap sebagai populasi, maka besarnya variansi dari kedua gugus data tersebut adalah sebagai berikut :

Hasil perhitungan variansi di atas menunjukkan bahwa gugus data A lebih beragam daripada gugus data B.

Variansi untuk sampel dilambangkan dengan S(kuadrat) merupakan suatu statistik. Sampel-sampel acak berukuran n yang diambil dari populasi yang sama pada umumnya akan menghasikan nilai S(kuadrat) yang berbeda. Agar diperoleh nilai dugaan yang baik, nilai dugaan tersebut harus dihitung berdasarkan rumus yang secara rata-rata menghasilkan parameter populasi Statistik yang secara rata-rata menduga parameter sebenarnya dikatakan bersifat takbias.

Secara intuisi, kita membayangkan bahwa rumus untuk menghitung statistik S(kuadrat) sama seperti rumus untuk menghitung parameter , namun nilai statistik S(kuadrat) yang dihitung menurut rumus tersebut cenderung menghasilkan nilai yang lebih rendah daripada . Untuk mengatasi hal tersebut, maka kita mengganti n dengan n-1. Dengan demikian variansi sampel untuk sebuah sampel acak x1,x2,....,xn didefinisikan sebagai berikut :